#1189. 「CSP-S 2019」划分

    ID: 1189 传统题 2000ms 1024MiB 尝试: 0 已通过: 0 难度: (无) 上传者: 标签>贪心数据结构单调队列高精度文件 IO决策单调性2019csp-s

「CSP-S 2019」划分

题目描述

2048 年,第三十届 CSP 认证的考场上,作为选手的小明打开了第一题。这个题的样例有 nn 组数据,数据从 1n1 \sim n 编号,ii 号数据的规模为 aia_i

小明对该题设计出了一个暴力程序,对于一组规模为 uu 的数据,该程序的运行时间u2u^2。然而这个程序运行完一组规模为 uu 的数据之后,它将在任何一组规模小于 uu 的数据上运行错误。样例中的 aia_i 不一定递增,但小明又想在不修改程序的情况下正确运行样例,于是小明决定使用一种非常原始的解决方案:将所有数据划分成若干个数据段,段内数据编号连续,接着将同一段内的数据合并成新数据,其规模等于段内原数据的规模之和,小明将让新数据的规模能够递增。

也就是说,小明需要找到一些分界点 1k1<k2<<kp<n1 \le k_1 < k_2 < \cdots < k_p < n,使得:

$$\sum_{i=1}^{k_1} a_i\le \sum_{i=k_1+1}^{k_2} a_i \le \dots \le \sum_{i=k_p+1}^n a_i $$

注意 pp 可以为 00 且此时 k0=0k_0 = 0,也就是小明可以将所有数据合并在一起运行。

小明希望他的程序在正确运行样例情况下,运行时间也能尽量小,也就是最小化

$$\left(\sum_{i=1}^{k_1} a_i \right)^2+\left(\sum_{i=k_1}^{k_2} a_i \right)^2+\cdots +\left(\sum_{i=k_p+1}^n a_i \right)^2 $$

小明觉得这个问题非常有趣,并向你请教:给定 nnaia_i,请你求出最优划分方案下,小明的程序的最小运行时间。

输入格式

从文件 partition.in 中读入数据。

由于本题的数据范围较大,部分测试点的 aia_i 将在程序内生成

第一行两个整数 n,typen, \text{type}nn 的意义见题目描述,type\text{type} 表示输入方式。

  1. type=0\text{type} = 0,则该测试点的 aia_i 直接给出。输入文件接下来:第二行 nn 个以空格分隔的整数 aia_i,表示每组数据的规模。
  2. type=1\text{type} = 1,则该测试点的 aia_i特殊生成,生成方式见后文。输入文件接下来:第二行六个以空格分隔的整数 x,y,z,b1,b2,mx, y, z, b_1, b_2, m。接下来 mm 行中,第 ii1im1 \le i \le m)行包含三个以空格分隔的正整数 pi,li,rip_i, l_i, r_i

对于 type=1\text{type} = 1232523 \sim 25 号测试点,aia_i 的生成方式如下:

  • 给定整数 x,y,z,b1,b2,mx, y, z, b_1, b_2, m,以及 mm 个三元组 (pi,li,ri)(p_i, l_i, r_i)
  • 保证 n2n \ge 2。若 n>2n > 2,则 3in\forall 3\le i\le n,$b_i = (x \times b_{i−1} + y \times b_{i−2} + z) \bmod 2^{30}$。
  • 保证 1pin1 \le p_i \le npm=np_m = n。令 p0=0p_0 = 0,则 pip_i 还满足 0i<m\forall 0 \le i < mpi<pi+1p_i < p_{i+1}
  • 对于所有 1jm1 \le j \le m,若下标值 ii1in1 \le i \le n)满足 pj1<ipjp_{j−1} < i \le p_j,则有
ai=(bimod(rjlj+1))+lja_i=\left( b_i \bmod (r_j-l_j+1) \right) +l_j

上述数据生成方式仅是为了减少输入量大小,标准算法不依赖于该生成方式

输出格式

输出到文件 partition.out 中。

输出一行一个整数,表示答案。

样例 1

5 0
5 1 7 9 9
247

最优的划分方案为 {5,1},{7},{9},{9}\{5,1\},\{7\},\{9\},\{9\}。由 5+17995 + 1 \le 7 \le 9 \le 9 知该方案合法。

答案为 (5+1)2+72+92+92=247(5 + 1)^2 + 7^2 + 9^2 + 9^2 = 247

虽然划分方案 {5},{1},{7},{9},{9}\{5\},\{1\},\{7\},\{9\},\{9\} 对应的运行时间比 247247 小,但它不是一组合法方案,因为 5>15 > 1

虽然划分方案 {5},{1,7},{9},{9}\{5\},\{1,7\},\{9\},\{9\} 合法,但该方案对应的运行时间为 251251,比 247247 大。

10 0
5 6 7 7 4 6 2 13 19 9
1256

最优的划分方案为 {5},{6},{7},{7},{4,6,2},{13},{19,9}\{5\},\{6\},\{7\},\{7\},\{4,6,2\},\{13\},\{19,9\}

10000000 1
123 456 789 12345 6789 3
2000000 123456789 987654321
7000000 234567891 876543219
10000000 456789123 567891234
4972194419293431240859891640

见附加文件 partition4/5.in/ans

数据范围与提示

测试点编号 nn\le aia_i\le type=\text{type}=
131\sim 3 1010 1010 00
464\sim 6 5050 10310^3
797\sim 9 400400 10410^4
101610\sim 16 5×1035\times 10^3 10510^5
172217\sim 22 5×1055\times 10^5 10610^6
232523\sim 25 4×1074\times 10^7 10910^9 11

对于 type=0\text{type} = 0 的测试点,保证答案不超过 4×10184\times 10^{18}

所有测试点满足:$\text{type} \in \{0, 1\} , 2 \le n \le 4 \times 10^7 , 1 \le a_i \le 10^9 , 1 \le m \le 10^5 ,1 \le l_i \le r_i \le 10^9 , 0 \le x, y, z, b_1, b_2 < 2^{30}$。